Tài liệu BÀI TẬP SỐ PHỨC (98 VÍ DỤ VÀ BÀI TẬP CÓ LỜI GIẢI) docx

LINK DOWNLOAD MIỄN PHÍ TÀI LIỆU "Tài liệu BÀI TẬP SỐ PHỨC (98 VÍ DỤ VÀ BÀI TẬP CÓ LỜI GIẢI) docx": http://123doc.vn/document/1036200-tai-lieu-bai-tap-so-phuc-98-vi-du-va-bai-tap-co-loi-giai-docx.htm

Bài tập số phức



Lê Lễ
-suphamle2341@gmail.com Page 5

1.

Dạng đại số của số phức
1.1

Định nghĩa số phức
Xét
2
{( , )| , }R R x y RR xy
.
Hai phần tử
11
( ,)x y
và
22
( ,)x y
bằng nhau
⇔

12
12
xx
yy
.
∀

1 1 2 2
, ),((,)xyyx
∈

ℝ
2
:
Tổng
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2
( , ) ( , ) ( , )z x y x x yz y x y
∈

ℝ
2
.
Tích
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1
( , ).( , ) ( , ).z x y x y x yz xy yyxx
∈

ℝ
2
.
Phép toán tìm tổng hai số phức gọi là phép cộng.
Phép toán tìm tích hai số phức gọi là phép nhân.
Ví dụ 1
.
a)

12
( 5,6), (1, 2)z z

12
( 5,6) (1, 2) ( 4,4)z z
.
12
( 5,6)(1, 2) ( 5 12,10 6) (7,16)z z
.
b)

12
1 1 1
( ,1), ( , )
2 3 2
zz

12
1 1 1 5 3
( ,1 ) ( , )
2 3 2 6 2
z z

12
1 1 1 1 1 7
( , ) ( , )
6 2 4 3 3 12
z z

Định nghĩa. Tập
ℝ
2
, cùng với phép cộng và nhân ở trên gọi là tập số phức
ℂ
. Phần tử (x,y)
∈ℂ

gọi là một số phức.
1.2

Tính chất phép cộng
(1)

Giao hoán:
1 2 2 1 1 2
,,z z z z z Cz
.
(2)

Kết hợp:
121 2 3 3 1 2 3
() ,(,),z z zz z z zz z C
.
(3)

Tồn tại phần tử không:
0 (0,0) , 0 0 ,C z z z z C
.
(4)

Mọi số có số đối:
, : ( ) ( ) 0z C z C z z z z
.
Số
1 2 1 2
()z z z z
: hiệu của hai số
12
,z z
. Phép toán tìm hiệu hai số gọi là phép trừ,
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2
( , ) ( , ) ( , )z x y x x yz y x y
∈

ℂ.

1.3

Tính chất phép nhân
(1)

Giao hoán:
1 2 2 1 1 2
, ,zz z z Cz z
.
Bài tập số phức



Lê Lễ
-suphamle2341@gmail.com Page 6

(2)

Kết hợp:
121 2 3 3 1 2 3
( . ). . .() ,,,z z z z z Cz z z z
.
(3)

Tồn tại phần tử đơn vị:
1 (0,1) , .1 1. ,C z z z z C
.
(4)

Mọi số khác 0 có số nghịch đảo:
* 1 1 1
, : . . 1z C z C z z z z
.
Giả sử
*
( , )z x y C
, để tìm
1
( ', ')z x y
,
( , ).( ', ' ,
0
)
1
) (1 0
xx yy
yx
xy
xy
xy
. Giải hệ, cho ta
2 2 2 2
,'
xy
y
xy
x
xy
. Vậy
1
2 2 2 2
1
( , )z
xy
z x y x y

Thương hai số
1 1 1
( , ), ( , )x y zz xy
∈

ℂ
*là
1
1 1 1 1 1
1 1 1
2 2 2 2 2 2 2 2
. ( , ).( , ) ( , )
z x y x x y y x y y x
z z x y C
z x y x y x y x y
.
Phép toán tìm thương hai số phức gọi là phép chia.
Ví dụ 2.
a)

Nếu
(1,2)z
thì
1
2 2 2 2
1 2 1 2
( , ) ( , )
1 2 1 552
z
.
b)

Nếu
12
(1,2), (3,4)zz
thì
1
2
3 8 4 6 11 2
9 16 9 1
( , ) (
5
)
6 2 25
,
z
z
.
Lũy thừa số mũ nguyên của số phức: z
∈

ℂ
*
,

0 1 2
1; ; . ;
n
n
z z z z z zz z z z

, n nguyên dương.
1
()
nn
zz
, n nguyên âm.
0 0
n
, mọi n nguyên dương.
(5)

Tính phân phối của phép nhân với phép cộng:
1 2 3 1 3 1 22 31
.( ) . . ,,,z z zz z z z zzzC

Những tính chất trên của phép nhân và cộng, chứng tỏ
ℂ
cùng hai phép toán cộng và nhân là
một trường.
1.4

Dạng đại số của số phức
Dạng đại số của số phức được nghiên cứu sau đây:
Bài tập số phức



Lê Lễ
-suphamle2341@gmail.com Page 7

Xét song ánh
2

{0}, ( ): ( ,0)R f xfR x
.
Hơn nữa
( ,0) ( ,0) ( ,0)x y x y
;
( ,0).( ,0) ( ,0)x y xy
.
Ta đồng nhất
(x,0)=x.
Đặt i=(0,1)
( , ) ( ,0) (0, ) ( ,0) ( ,0).(0,1)z x y x y x y

( ,0) (0,1)( ,0)x yi x y x iy
.
Định lý .
Số phức bất kỳ z=(x,y) được biểu diễn duy nhất dạng z=x+yi, x,y
∈

ℝ
,
trong đó i
2
=-1.
Hệ thức i
2
=-1, được suy từ định nghĩa phép nhân :
2
. (0,1).(0,1) ( 1,0) 1i ii
.
Biểu thức x+yi gọi là dạng đại số của số phức z=(x,y). Do đó:

2
{ | , , 1}C x yi x R y R i
.
x=Re(z): phần thực của z. y=Im(z): phần ảo của z. Đơn vị ảo là i.
(1)

Tổng hai số phức
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2
( ) ( ) )(()z i iz x y x y x x y y i C
.
Tổng hai số phức là một số phức , mà phần thực ( phần ảo) của nó bằng tổng hai phần thực
(phần ảo) của hai số đã cho.
(2)

Tích hai số phức
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1
( ) ) (( ) ( )z x y x y xzi y x i Ci x xyy y
.
(3)

Hiệu hai số phức
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2
( ) ( ) )(()z i iz x y x y x x y y i C
.
Hiệu hai số phức là một số phức , mà phần thục ( phần ảo) của nó bằng hiệu hai phần
thực(phần ảo) của hai số phức đã cho.
Khi thực hành cộng, trừ , nhân số phức thực hiện tương tự quy tắc tính đa thức chỉ cần lưu ý
2
1i
là đủ.
Ví dụ 3.
a)

12
5 6 , 1 2iiz z

12
( 5 6 ) (1 2 ) 4 4z z i i i
.
12
( 5 6 )(1 2 ) 5 12 (10 6) 7 16z i i iz i
.
b)

12
1 1 1
,
2 3 2
i z iz


2
f là một đẳng cấu
Bài tập số phức



Lê Lễ
-suphamle2341@gmail.com Page 8

12
1 1 1 1 1 1 5 3
( ) ( ) (1 )
2 3 2 2 3 2 6 2
z i i iz i

12
1 1 1 1 1 1 1 1 7
( )( ) ( )
6 2 4 3 3 122 3 2
z i i i iz
.
1.5

Lũy thừa của đơn vị ảo i
0 1 2 3 2
3 4 74 5 6 5 6
1; ; 1; . ,
. 1; . ; . 1; .
i i i i i i i
i i i i i i i i i i i i i
i
i
.
Bằng quy nạp được :
4 4 1 4 2 4 3
1; ; 1; ,
n n n n
i iiiii
∀
n
∈

ℕ
*

Do đó
{ 1,1, , }
n
i ii
,
∀
n
∈

ℕ
.
Nếu n nguyên âm , có
1
1
()( ) ( ) .
n n n n
ii
i
i

Ví dụ 4.
a)
105 23 20 34 4.26 1 4.5 3 4.5 4.8 2
1 1 2i i i ii iii i i
.
b) Giải phương trình :
3
18 26 , , ,i z xz yi x y Z
.
Ta có
3 2 2 2
( ) ( )( ( 2 )() )x yi x yi x y xyi xx yiyi

3 2 2 3
3 ) (3 ) 18 26 .( xy x y y i ix

Sử dụng định nghĩa hai số phức bằng nhau, được:
32
23
3 18
3 26
x xy
x y y

Đặt y=tx,
2 3 3 2
) 26(18(3 3)y y x yx x
( cho ta x≠ 0 và y≠ 0)
⇒

32
)1 2 1 38(3 6( )t tt
⇒

2
(3 1)(3 12 13) 0.ttt

Nghiệm hữu tỷ của phương trình là t=1/3. Do đó
x=3, y=1
⇒
z=3+i.
1.6


Số phức liên hợp
Cho z=x+yi. Số phức
z x yi
gọi là số phức liên hợp của z.
Định lý.
(1)

z z z R
,
(2)

z z
,
(3)

.z z
là số thực không âm,
Bài tập số phức



Lê Lễ
-suphamle2341@gmail.com Page 9

(4)

1 2 1 2
z z z z
,
(5)

1 2 1 2
. .z z z z
,
(6)

11
()zz
,
*
z C
,
(7)

11
2
2
zz
z
z
,
*
2
z C
,
(8)

Re( ) Im(z),
22
=
z z z
z
z
i

Chứng minh.
(1)

.z x yi x iz y

Do đó 2yi=0
⇒
y=0
⇒
z=x
∈

ℝ
.
(2)

,.z x yi z x yi z

(3)

22
( )( ). 0z z x yi x yi x y

(4)

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
) ( )(() ( )xxz z x y y i x y y i

21 1 2 1 2
) ( )( i x y z zx y i
.
(5)

1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 2 1
) ( ) ) (. ( ( )z z x y i x y x y x y y i xxy xx yy

1 1 2 2 1 2
( )( )x iy x iy z z
.
(6)

1 1 1
1 ( . ) 1 .( ) 1.z zz
z z z
,
tức là
11
( ) ( ) .zz

(7)

11
1 1 1
2 2 2
22
1 1 1
( . ) .( ) . .
zz
z z z
z z z
zz

(8)

( ) ( ) 2 .z x yiz x yi x

( ) ( ) 2 .z x yi x yz yi i

Do đó:
Re( ) Im(z),
22
=
z z z
z
z
i

Lưu ý.
a) Việc tính số nghịch đảo của số phức khác 0, được tiến hành:
2 2 2 2 2 2
1
.
z x yi x y
i
z z z x y x y x y

b) Tính thương hai số phức:
1 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
22
. ( )( ) ( )
.
z z z x y i x y i x y x x y
i
z x y x y
y
z
x
z
y
xy

Bài tập số phức



Lê Lễ
-suphamle2341@gmail.com Page 10

Khi thực hành tìm số nghịch đảo, tìm thương thực hiện tương tự quy tắc tính đa thức chỉ cần lưu
ý
2
1i
là đủ.

Ví dụ 5.
a)

Tìm số nghịch đảo của
10 8zi
.
11
22
1 1(10 8 ) 10 8
10 8 (10 8 )(10 8 ) 10 8
10 8 5 2
164 82
( 8 )
4
10
1
ii
i i i
i
i
zi

b)

Tính
5 5 20
.
3 4 4 3
i
ii
z

22
(5 5 )(3 4 ) 20(4 3 ) 5 35 80 60
.
9 16 1 256 295
i i i i
i
z
i
i

75 25
3
25
i
i
.
c)

Cho
12
,z zC
. Chứng tỏ
1 2 1 2
Ezz z z
là một số thực
1 2 1 2 1 2 1 2
.E z z z z z z z z E E R
.
1.7


Môđun của số phức
Số
22
|| xyz
gọi là Môđun của số phức z=x+yi.
Ví dụ 6.
Cho
1 2 3
4 3 , 3 , 2z z zii
,
2 2 2
23
22
1
| | 0| 4 3 5, | ( 3) 3, | 2|2z z z
.
Định lý.
(1)

| | | |( ) | |, ( ) | |.Re z z z Im zz z

(2)

0,| | 0 .| 0| zz z

(3)

| | | |||zzz
.
(4)

2
.z zz
.
(5)

1 2 1 2
| | || ||z z zz
.
(6)

1 2 1 2 1 2
| | | | | | | || |.z z z z zz

(7)

1 1 *
| | ||,zzzC

(8)

*
11
2
22
||
| | ,
||
zz
zC
zz
.
(9)

1 2 1 2 1 2
| | | | | | | || |.z z z zz z

Bài tập số phức



Lê Lễ
-suphamle2341@gmail.com Page 11

Chứng minh
Dễ kiểm tra (1)-(4) đúng
(5)
2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2
. | ( . )( ) ( . )( ) | | | || z z z z z z z zz z z z

1 2 1 2
| | || || zzz z
.
(6)
2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 2
| ( )( ) ( )| |||( ) |z z z z z z z z z z z z z zz z

Bởi vì
1 2 1 2 1 2
z z z z z z
, kéo theo
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
2 ( ) 2| | 2| || | 2| || |z z z e z z z z z z zz z
.
Do đó
22
1 2 1 2
| (| | | |)| z z zz
. Nên
1 2 1 2
| | | || |zzz z
.
Bất đẳng thức bên trái có được do:
1 1 2 2 1 2 2 1 2 2
1 2 1 2
| | | | | | | | | | |
| | | | |
|
|
z z z z z z z z z
z z z z
z

(7)
1 1 1 1
1|
|
. |. 1
|
z
z z z
z
z
.
Nên
1 1 *
| | ||,zzzC
.
(8)
1 1 1
11
1 1 2 1 2 1 2
2
22
||
1 | |
| | | | | | | |
|
|
|
|
zz
z z z z z z
z
z
zz
.
(9)
1 1 2 2 1 2 2
| | | | | | || z z z z z zz
Nên
1 2 1 2
| | | | | |z z z z
.
Mặt khác
1 2 1 2 1 2 1 2
| | | || ( ) | | | | | | |z z zz zz zz
.
Bất đẳng thức
1 2 1 2
| | | || |zzz z
là đẳng thức
1 2 1 2
( ) | || |Re z z z z
,
tức là
12
z tz
, t là số thực không âm.
Bài tập 1.
Chứng minh
2 2 2 2
1 2 1 2 1 2
||| | 2(| | | | )zz z z z z
.
Lời giải.
Sử dụng tính chất (4),
22
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
| | ( )(| ) )(| ()zz z z z z z z z z z z

2 2 2 2
1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2
| | | | | | || z z z z z z z z z zz z

22
12
| | | )2(| z z
.
Bài tập 2.
Chứng minh nếu
1 2 1 2
| | | 1,| 1zzz z
thì
12
12
1
zz
zz
là số thực.
Lời giải.
Sử dụng tính chất (4),
Bài tập số phức



Lê Lễ
-suphamle2341@gmail.com Page 12

2
1 1 1 1
1
1
| | 1, .z z z z
z

Tương tự,
2
2
1
,z
z
đặt số trên là A,
1 2 1 2
12
12
12
12
11
11
1
1
1
z z z z
zz
AA
zz
zz
zz
.
Vậy A là số thực.
Bài tập 3.
Cho a là số thực dương và đặt
*
0
1
,| | .MzC z a
z

Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của |z| khi z
∈
M
0
.
Lời giải.
22
2 2 2
22
1 1 1 1
| | ( )( ) | |
| | | |
zz
z z z z
z z z z
a
z

4 2 2
2
| | ( ) 2| | 1
.
||
z z z z
z

Do đó
4 2 2 2
| | ( 2) 1 ( ) 0|| .zaz zz

2 4 2 2 4 2
2
2 4 2 4
| | [ ; ]
22
a a a a a a
z

22
44
| | [ ; ]
22
a a a a
z
.
22
44
max | | ,min | |
22
a a a a
zz
.
,z M z z
.
Bài tập 4.
Chứng minh mọi số phức z,
|
1
2
1|z
, hoặc
2
1 1.| |z

Lời giải.
Phản chứng
|
1
2
1|z
và
2
1 1.| |z

Đặt z=a+bi
⇒

2 2 2
2.abz abi

Bài tập số phức



Lê Lễ
-suphamle2341@gmail.com Page 13

2 2 2 2 2 2 2
(
1
) 4 1,(1 ) ,
2
1 b a b aa b

2 2 2 2 2 2 2
( ) 2( ) 0,2( ) 4 1 0.a b a b a b a

Cộng các bất đẳng thức được
2 2 2 2
( ) (2 1) 0.a b a
Mâu thuẫn
Bài tập 5.
Chứng minh
2
77
|1 | |1 | 3
62
z z z
,
∀
z, |z|=1.
Lời giải.
Đặt
|1 | [0;2]tz
.
2
2
2
(1 )(1 ) 2 2 ( ) ( ) .
2
t
z z Rt e z Re z

Khi đó
22
|| 7 2 .1 ||z tz
Xét hàm số
2
, ( ) |7 2 |.:[0;2] R f tf tt

Được
2
7 7 7 7
) |7 2 | ( ) 3(
22 6
.
6
t t ff


Bài tập 6.
Xét
{ , 1 , }C z x i xHz xR
.
Chứng minh rằng tồn tại duy nhất số phức
,| | | |, .H z wz wH

Lời giải.
Đặt
1 , .y yi y R

Là đủ nếu chứng minh được ,tồn tại số thực duy nhất x sao cho
Bài tập số phức



Lê Lễ
-suphamle2341@gmail.com Page 14

2 2 2 2
( 1)( 1) x y yx
,
∀
y
∈
R.
Nói cách khác , x là điểm cực tiểu hàm số
2 2 2 2
11
, ( ) ( 1) 2 2 1 2( ) ,
22
: R f y y y y y yfR

Do đó điểm cự tiểu là
1 1 1
.
2 2 2
zx i

Bài tập 7.
Cho x,y,z là các số phức phân biệt sao cho
(0;1(1 ) , ).y tx t z t

Chứng minh rằng
| | | | | | | | | | | |
.
| | | | | |
z y z x y x
z y z x y x

Lời giải.
Từ hệ thức
(1 )y tx t z
,
( ).z y t z x

Bất đẳng thức
| | | | | | | |
.
| | | |
z y z x
z y z x

trở thành
(|| | | | | | |),z zy tx

hay
(1 )| || | |.| t z t xy

Vận dụng bất đẳng thức tam giác cho
(1 )y t z tx
, ta có kết quả.
Bất đẳng thức thứ hai , được chứng minh tương tự, bởi
(1 )y tx t z

tương đương với
(1 )( ).y x t z x


1.8


Giải phương trình bậc hai
Phương trình bậc hai với hệ số thực
2
0, 0bx cax a

vẫn có nghiệm phức trong cả trường hợp biệt thức
2
4b ac
âm.
Phân tích vế trái
2
2
)[ 0( ]
24
ax
b
aa