Vật lý thống kê - P7

6.2 – Thăng giáng Gauss
•
Khai triển và dừng ở số hạng bậc hai
)9.6( )xx](
x
)x(
[
!3
1
)xx](
x
)x(
[
!2
1
)x()x(
3
3
3
2
2
2
+−
∂
σ∂
−+−
∂
σ∂
−−σ=σ
Thông thường ta ký hiệu hằng số dương Beta là:
)10.6(
x
)}x({
2
2
∂
σ∂
−=β
A được tính từ ĐKCH là:
Thay BT 6.9 và 6.10 và viết lại hàm phân bố:
)12.6(
2
A1dx}
2
)xx(
exp{Adx)x(
2
π
β
=→=
−β
−=ρ
∫∫
∞
∞−
)11.6(dx)
2
)xx(
exp(.A))x((
2
−β−
=σρ

6.2 – Thăng Giáng Gauss
Thay vào Hàm phân bố Gauss tường minh:
)13.6(dx).
2
)xx(
exp(
2
dx)x(
2
−β−
π
β
=ρ
Phân bố này có cực đại tại x = trung bình của x
Bài tập1: Hãy tính bình phương của trung bình
độ lệch
)14.6(
121
2
x)xx(
Gaussian
du).
2
u.
exp(u)xx(
dxdu)xx(u
:iablevarnewtoChange
dx).
2
)xx.(
exp()xx()xx(
2
2
22
2
22
β
=
β
π
βπ
β
=∀=−
β−
=−→
=→−=
−β−
−=−
∫
∫
∫
∞
∞−
∞
∞−

6.2 – Hàm phân bố Gauss
•
Thay vào biểu thức hàm phân bố:
Bài tập: Xem file dữ liệu là các thăng giáng theo thời gian
Hãy tính trị trung bình của bình phương các thăng giáng đó ?
Tính thăng giáng tương đối %
Viết biểu thức tường minh của hàm phân bố Gaussian ?

)16.5()x(L
x
1
ee
ee
)x.uexp(
x
1
)x.uexp(
x
1
)x.uexp(
x
u
cos
xx
xx
1
1
1
1
2
1
1
=−
−
+
=
−
=θ
−
−
−
−−
)15.6(}
x2
)xx(
exp{
x2
1
)x(
:ondistributiGaussian
2
∀
−+
∀π
=ρ

6.4 – Thăng giáng năng lượng
hệ chính tắc
•
Xét hệ cân bằng với bình nhiệt ở nhiệt độ T (hằng số), không có thăng
giáng. Tuy nhiên năng lượng thì có thăng giáng do hệ trao đổi nhiệt
với nguồn. Khi đó ta xét hàm phân bố theo năng lượng
Năng lượng trung bình được tính bởi:

∑
α=−=α
α=−=ρ
n
n
B
n
B
n
n
}Eexp{z&
TK
1
with
)17.6(}Eexp{
z
1
}
TK
E
exp{
z
1
)E(
)18.6(
z
z
1
z
)E(E
)E(EE
)Eexp(E}Eexp{
z
:from
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
α∂
∂
=
αρ
=ρ=→
α=α
α∂
∂
=
α∂
∂
∑
∑
∑∑

Bài Tập
)19.6(
z
z
1
z
}Eexp{
EE
2
n
n
2
n
2
α∂
∂
=
α
=
∑
( )
}
zz
{
z
1
E
)20.6(EEE
2
2
2
2
2






α∂
∂
−
α∂
∂
=∀→
−=∀
•
Tính giá trị trung bình của bình phương năng lượng?
•
Tính Thăng giáng năng lượng

Bài Tập
)21.6(CTKE
V
2
B
=∀
•
Chứng minh rằng thăng giáng thỏa BT:
•
Theo 6.19
2
BV
2
B
V
2
2
2
2
2
2
TKCE
E
TK
1E
T
E
T
E
C:But
)23.6(
Ezz
{
z
1
E
}
zz
{
z
1E
=∀=
α∂
∂
→
α∂
∂
=
∂
α∂
α∂
∂
=
∂
∂
=
α∂
∂
=






α∂
∂
−
α∂
∂
=∀→






α∂
∂
−
α∂
∂
=
α∂
∂

Bài Tập
)24.6(%
U
CTK
%
E
E
%
2
V
2
B
2
=
∀
=ε
•
Tính thăng giáng tương đối của năng lượng:
•
Theo 6.19
2
BV
2
B
V
2
2
2
2
2
2
TKCE
E
TK
1E
T
E
T
E
C:But
)23.6(
Ezz
{
z
1
E
}
zz
{
z
1E
=∀=
α∂
∂
→
α∂
∂
=
∂
α∂
α∂
∂
=
∂
∂
=
α∂
∂
=






α∂
∂
−
α∂
∂
=∀→






α∂
∂
−
α∂
∂
=
α∂
∂

Bài tập tổng hợp
•
Tính thăng giáng năng lượng của 1 mol khí lý tưởng ở nhiệt độ
phòng. Tính thăng giáng tương đối% (của năng lượng)
•
Tính
)25.6()smallvery(10101010
NKTKCTKE
NKCTNKU:from
2052246
B
2
BV
2
B
BVB
−−
≈
===∀
=→=

6.4 – Thăng giáng số hạt của hệ chính
tắc suy rộng
•
Khi số hạt có thăng giáng, tổng thống kê tính bởi:
Ta xét hàm thế :
)27.6(}
TK
EN
exp{Z
n,N
B
N,n
∑
−µ
=
)28.6()ZlnTK(N}
TK
EN
exp{N
}
TK
EN
exp{TK)ZlnTK(
}
TK
EN
exp{nTKnZTK
B
n,N
B
N,n
n,N
B
N,n
BB
n,N
B
N,n
BB
µ∂
∂
==








−µ
=
=








−µ
µ∂
∂
=
µ∂
∂
=
µ∂
Ω∂
→








−µ
==Ω
∑
∑
∑


Bài tập
=
µ∂
∂
=








−µ
=
∑
N
:Care
?}
TK
EN
exp{NN
n,N
B
N,n
22
Hướng dẫn
Từ biểu thức hàm phân bố, Hãy tính trung bìh của bình
phương số hạt
2
B
2
BB
n,N
B
N,n
22
n,N
B
N,n
2
B
n,N
B
N,n
n,N
B
N,n
)nzTK(
TK
N
TK}
TK
EN
exp{NN
}
TK
EN
exp{N
TK
1
}
TK
EN
exp{N
}
TK
EN
exp{N
N
µ∂
∂
=
µ∂
∂
=








−µ
=→








−µ
=








−µ
µ∂
∂
=
=








−µ
µ∂
∂
=
µ∂
∂
∑
∑∑
∑


Xem chi tiết: Vật lý thống kê - P7